1907 წელს ინგლისელმა ავტორმა და მათემატიკოსმა, ჰენრი დუდნემ, საინტერესო გამოცანა შემოგვთავაზა — რა რაოდენობის უმცირესი შესაძლო ნაწილია საჭირო ტოლგვერდა სამკუთხედის ისე დასანაწევრებლად, რომ ამ ნაწილების შეერთებით კვადრატი მივიღოთ?

სულ რაღაც ოთხი კვირის შემდეგ დუდნემ პასუხი თავადვე იპოვა — დაამტკიცა, რომ მხოლოდ ოთხი ნაწილი იყო საკმარისი. ფიგურის დაშლას და ამ ნაწილების შეერთებით სხვა ფიგურის მიღებას დანაწევრება (დისექცია) ჰქვია. ამ პროცესში ძირითადი გამოწვევა იმ ნაწილების რაოდენობის მინიმალიზებაა, რომლებიც ერთი მრავალკუთხედის სხვა მრავალკუთხედად გადასაქცევადაა საჭირო. ეს პრობლემა უამრავ მათემატიკოსს ან უბრალოდ გამოცანების მოყვარულ ადამიანს საუკუნეების განმავლობაში მოსვენებას არ აძლევდა.

დუდნეს გამოცანა დღემდე გეომეტრიული დანაწევრების ერთ-ერთ ყველაზე ცნობილ მაგალითად რჩება. გარდა იმისა, რომ დანაწევრების პრობლემები მათემატიკოსებისთვის არის მიმზიდველი, მათ ასევე დიდი გამოყენება აქვს ისეთ სფეროებში, როგორებიცაა, ტექსტილის დიზაინი, ინჟინერია და დამმუშავებელი მრეწველობა. დუდნეს მიერ ამონახსნის შემუშავებიდან 120 წელზე მეტია გასული და ამ ხნის განმავლობაში ოთხზე ნაკლები ნაწილის გამოყენებით პრობლემის ამოხსნა უამრავ მათემატიკოსს უცდია.

ახალ კვლევაში სამმა პროფესორმა — რიუჰე უეჰარამ, ტონან კამატამ და ერიკ დემეინმა — დაამტკიცა, რომ დუდნეს თავდაპირველი ამოხსნა ყველაზე ოპტიმალური იყო.

"საუკუნეზე მეტის შემდეგ დუდნეს პრობლემა, როგორც იქნა, საბოლოოდ ამოვხსენით. ამისთვის დავამტკიცეთ, რომ ტოლგვერდა სამკუთხედი და კვადრატი ვერ დაიყოფა სამ ან ნაკლებ მრავალკუთხედ ნაწილად, რომლებიც ერთდროულად ორივე ფიგურის შესაქმნელად შეიძლება გამოგვადგეს. გამოვიყენეთ ახალი დამტკიცების ტექნიკა, რომელიც ერთმანეთის შესაბამის დიაგრამებზეა დაფუძნებული", — ამბობს პროფესორი უეჰარა.

მათი ნაშრომი arXiv-ზე დეკემბერში გამოქვეყნდა.

აღნიშნულ კვლევაში ძირითადი თეორემა დაამტკიცეს — ტოლგვერდა სამკუთხედსა და კვადრატს შორის არ არსებობს ისეთი დანაწევრება, რომელიც სამ ან ნაკლებ ნაწილს იყენებს, როცა ამ ნაწილების შებრუნება დაუშვებელია. დუდნეს თავდაპირველი ამოხსნა შებრუნების საკითხს საერთოდ არ ითვალისწინებდა. მკვლევრებმა ჯერ პრობლემის გეომეტრიული შეზღუდვები შეისწავლეს, რათა ორ ნაწილად დაყოფის შესაძლებლობა გამოერიცხათ.

ამის შემდეგ მათ სამ ნაწილად დაშლის შესაძლებლობა განიხილეს. დანაწევრების ფუნდამენტური თვისებების გამოყენებით სამ ნაწილად დაჭრის მეთოდების რამდენიმე შესაძლო კომბინაცია მიიღეს. საბოლოოდ კი მათ ერთმანეთის შესაბამისი დიაგრამები გამოიყენეს, რათა ეჩვენებინათ, რომ მათგან არცერთი იყო შესაძლებელი.

ერთმანეთის შესაბამისმა დიაგრამებმა აღნიშნულ დამტკიცებაში უდიდესი როლი ითამაშა. დანაწევრების შედეგად მიღებული ნაწილების ერთობლიობა გრაფთა სტრუქტურაზე დაიყვანება, რომელიც ამ ნაწილების წიბოებსა და წვეროებს შორის კავშირს ასახავს. ამ გზით ორივე ფიგურის (კვადრატისა და სამკუთხედის) მიღება შეიძლება. მკვლევრების თქმით, ეს მეთოდი არა მარტო დუდნის გამოცანაზე, არამედ დანაწევრების სხვა პრობლემებზეც შეიძლება განვავრცოთ.

"გეომეტრიული ფიგურების დანაწევრებისა და მიღებული ნაწილების სხვაგვარად შეერთების პრობლემა მას შემდეგ გაჩნდა, რაც ადამიანებმა ტანსაცმლის დასამზადებლად ცხოველის ტყავის დამუშავება დაიწყეს. მსგავსი ტიპის პრობლემებს ყოველთვის ვაწყდებით, როცა თხელ ქსოვილებთან გვაქვს საქმე. ჩვენი დამტკიცება დანაწევრების პრობლემების გაგებისა და გადაჭრის ინოვაციურ გზებს გვთავაზობს", — აცხადებს უეჰარა.

დანაწევრების ამოცანები სხვადასხვა რაოდენობის ნაწილის დაშვებით უამრავჯერ ამოხსნილა, თუმცა აქამდე არ არსებობდა ფორმალური დამტკიცება, რომელიც კონკრეტული ამოხსნის ოპტიმალურობას აჩვენებდა.